La version originale de cette histoire apparaît dans Magazine Quanta.
Parfois, les mathématiciens tentent de s'attaquer à un problème de front, et parfois ils le font de travers. C'est particulièrement vrai lorsque les enjeux mathématiques sont importants, comme dans le cas de l'hypothèse de Riemann, dont la solution est assortie d'une récompense d'un million de dollars du Clay Mathematics Institute. Sa démonstration donnerait aux mathématiciens une certitude beaucoup plus grande sur la façon dont les nombres premiers sont distribués, tout en impliquant une foule d'autres conséquences, ce qui en fait sans doute la question ouverte la plus importante des mathématiques.
Les mathématiciens ne savent pas comment prouver l’hypothèse de Riemann. Mais ils peuvent quand même obtenir des résultats utiles en montrant simplement que le nombre d’exceptions possibles est limité. « Dans de nombreux cas, cela peut être aussi bon que l’hypothèse de Riemann elle-même », a déclaré James Maynard de l’Université d’Oxford. « Nous pouvons obtenir des résultats similaires sur les nombres premiers à partir de cela. »
Dans un résultat révolutionnaire publié en ligne en mai, Maynard et Larry Guth du Massachusetts Institute of Technology ont établi un nouveau plafond pour le nombre d'exceptions d'un type particulier, battant enfin un record établi plus de 80 ans plus tôt. « C'est un résultat sensationnel », a déclaré Henryk Iwaniec de l'université Rutgers. « C'est très, très, très difficile. Mais c'est un bijou. »
La nouvelle preuve conduit automatiquement à de meilleures approximations du nombre de nombres premiers existant dans de courts intervalles sur la droite numérique, et offre de nombreuses autres perspectives sur le comportement des nombres premiers.
Un pas de côté prudent
L'hypothèse de Riemann est une affirmation concernant une formule centrale de la théorie des nombres appelée fonction zêta de Riemann. La fonction zêta (ζ) est une généralisation d'une somme simple :
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯.
Cette série deviendra arbitrairement grande à mesure que de plus en plus de termes lui seront ajoutés – les mathématiciens disent qu’elle diverge. Mais si au lieu de cela vous deviez résumer
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 +⋯
vous obtiendriez π2/6, soit environ 1,64. L'idée étonnamment puissante de Riemann était de transformer une série comme celle-ci en une fonction, comme ceci :
(g)m) = 1 + 1/2m + 1/3m + 1/4m + 1/5m + ⋯.
Donc ζ(1) est infini, mais ζ(2) = π2/6.
Les choses deviennent vraiment intéressantes lorsque vous laissez m être un nombre complexe, qui a deux parties : une partie « réelle », qui est un nombre courant, et une partie « imaginaire », qui est un nombre courant multiplié par la racine carrée de −1 (ou jecomme l'écrivent les mathématiciens). Les nombres complexes peuvent être tracés sur un plan, avec la partie réelle sur le X-axe et la partie imaginaire sur le et-axe. Ici, par exemple, c'est 3 + 4je.
Graphique : Mark Belan pour Quanta Magazine